Quanto vale davvero l’incertezza associata all’ultimo digit di uno strumento digitale? La risposta non è sempre “un digit diviso radice di 3” e non è sempre “mezzo digit”. Dipende da cosa rappresenta quel digit nel modello di misura.
Termometri, bilance, pH-metri, conduttimetri, manometri, misuratori di portata, calibri e acquisitori digitali mostrano un valore discretizzato. Ma nel budget di incertezza possono comparire situazioni diverse: risoluzione del display, arrotondamento, specifica del costruttore espressa in digit o count, oppure una combinazione tra percentuale della lettura e numero di digit.
1. Digit, risoluzione e count: non sono sinonimi perfetti
Il Vocabolario Internazionale di Metrologia definisce la risoluzione come la più piccola variazione della grandezza misurata che produce una variazione percepibile dell’indicazione. Per un dispositivo visualizzatore, la risoluzione è la più piccola differenza tra indicazioni visualizzate che può essere significativamente distinta.
In pratica, se un termometro visualizza 25,4 °C e cambia a passi di 0,1 °C, il valore d = 0,1 °C è la risoluzione del display. Nei datasheet elettronici lo stesso concetto può comparire come 1 digit, 1 count o least significant digit – LSD.
2. Caso A: incertezza dovuta alla sola risoluzione del display
Se lo strumento arrotonda la lettura al valore visualizzato più vicino, un valore indicato di 25,4 °C rappresenta idealmente valori compresi tra 25,35 °C e 25,45 °C. L’errore di quantizzazione è quindi limitato a:
± d/2
Assumendo, in assenza di informazioni migliori, una distribuzione rettangolare, l’incertezza standard associata alla risoluzione diventa:
ures = (d/2) / √3 = d / √12
Esempio: termometro con risoluzione 0,1 °C.
- semiaiezza dell’intervallo = 0,05 °C;
- ures = 0,05 / √3 = 0,029 °C.
Questa è la situazione tipica in cui si parla di mezzo digit come limite dell’errore di arrotondamento. Il NIST, ad esempio, descrive per diversi dispositivi digitali una componente di risoluzione pari a metà della cifra meno significativa, trattata con distribuzione rettangolare.
3. Caso B: il costruttore dichiara ±1 digit
Una specifica ±1 digit non è la stessa cosa della sola risoluzione. In questo caso il costruttore sta dichiarando un limite di accuratezza pari a un’intera unità dell’ultima cifra.
Se d = 0,1 °C e la specifica è ±1 digit, l’intervallo diventa ±0,1 °C. Se non è indicata una diversa distribuzione o un livello di copertura, una modellazione Type B rettangolare porta a:
udigit = d / √3
Nel nostro esempio:
udigit = 0,1 / √3 = 0,058 °C
Il valore è esattamente doppio rispetto alla componente dovuta al solo arrotondamento del display.
4. Caso C: ±2, ±3 o ±n digit
Lo stesso ragionamento si estende alle specifiche espresse come più digit. Se il limite dichiarato è ±n digit e un digit vale d:
a = n · d e u = (n · d) / √3
Per esempio, con risoluzione 0,01 unità e specifica ±2 digit:
- limite = ±0,02;
- incertezza standard, se rettangolare = 0,02 / √3 = 0,0115.
5. Caso D: specifica ±(% della lettura + digit)
Molti strumenti riportano specifiche del tipo:
±(0,5% della lettura + 2 digit)
Qui non conviene trattare automaticamente percentuale e digit come se fossero due componenti indipendenti. Sono normalmente due termini che formano insieme il limite di accuratezza dichiarato dal costruttore.
Supponiamo:
- lettura = 100,0 unità;
- risoluzione d = 0,1;
- specifica = ±(0,5% lettura + 2 digit).
Il limite complessivo vale:
a = 0,5 + 0,2 = 0,7 unità
Se la specifica viene interpretata come limite rettangolare:
u = 0,7 / √3 = 0,404 unità
Naturalmente va sempre verificato il manuale: alcuni costruttori definiscono condizioni, intervalli di temperatura, tempi dalla taratura o livelli di confidenza specifici.
6. Tabella pratica: quale formula usare?
| Situazione | Intervallo assunto | Incertezza standard |
|---|---|---|
| Solo risoluzione / arrotondamento | ±d/2 | d/√12 |
| Specifica ±1 digit | ±d | d/√3 |
| Specifica ±n digit | ±n·d | n·d/√3 |
| Specifica ±(% lettura + n digit) | limite complessivo dichiarato | a/√3, se rettangolare |
7. Attenzione al doppio conteggio
Uno degli errori più frequenti nei budget di incertezza è inserire contemporaneamente risoluzione, digit del costruttore, ripetibilità e incertezza di taratura senza verificare cosa rappresentano realmente.
Per esempio, l’incertezza riportata nel certificato di taratura può già comprendere una componente legata alla risoluzione del dispositivo sottoposto a taratura. In tal caso non è corretto aggiungere nuovamente la stessa componente quando si sta valutando l’incertezza associata al risultato di taratura. D’altra parte, nell’impiego quotidiano dello strumento, la risoluzione può ancora essere rilevante nel modello del processo di misura.
Lo stesso vale per la ripetibilità: se le letture sperimentali sono già discretizzate dall’ultimo digit, parte dell’effetto della quantizzazione può essere presente nei dati. Il laboratorio deve quindi costruire il budget a partire dal modello di misura e dalle fonti effettivamente indipendenti, non da un elenco standard di voci.
8. Esempio: tre modi diversi di trattare lo stesso display
Consideriamo un dispositivo con risoluzione d = 0,1.
- solo risoluzione: u = 0,1/√12 = 0,029;
- specifica ±1 digit: u = 0,1/√3 = 0,058;
- specifica ±2 digit: u = 0,2/√3 = 0,115.
Tre valori diversi, tutti potenzialmente corretti, perché rispondono a tre informazioni metrologiche diverse.
9. Cosa dovrebbe fare un laboratorio ISO/IEC 17025?
Per ogni dotazione digitale, è utile documentare almeno:
- risoluzione effettiva sul campo di misura utilizzato;
- significato di “digit” o “count” nel manuale;
- specifica di accuratezza applicabile alla lettura;
- condizioni ambientali o temporali della specifica;
- informazioni presenti nel certificato di taratura;
- eventuale contributo di ripetibilità osservato nell’uso reale;
- criterio scelto per convertire il limite in incertezza standard.
Non serve rendere il budget più complesso del necessario. Serve invece che ogni componente sia tecnicamente giustificata, tracciabile e non duplicata.
Risoluzione, contributi digitali e criteri di accettazione rientrano nella gestione metrologica delle dotazioni. Può essere utile anche il nostro approfondimento sulla verifica intermedia delle bilance. Per i prossimi appuntamenti consulta la formazione DN Consulenze.
Riferimenti utili
- JCGM VIM – 4.14 Resolution
- JCGM VIM – 4.15 Resolution of a displaying device
- NIST TN 1297 – Type B Evaluation of Standard Uncertainty
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Nota tecnica: gli esempi riportati hanno finalità didattica. La scelta della distribuzione e dei contributi deve essere coerente con le informazioni disponibili, con il modello di misura e con le condizioni effettive di impiego della dotazione.