Nei metodi di prova capita spesso di trovare un valore di riproducibilità e di trasformarlo direttamente in incertezza con la relazione U ≈ R/√2. La formula è semplice, ma viene spesso applicata senza chiarire che cosa rappresentino realmente R, sR e U.
Il punto fondamentale è questo: R descrive la differenza attesa tra due risultati indipendenti ottenuti in condizioni di riproducibilità; U descrive invece l’intervallo di incertezza associato a un singolo risultato. La radice di 2 nasce proprio da questo passaggio.
Prima distinzione: sR non è R
Quando si parla di riproducibilità bisogna distinguere due grandezze:
- sR = deviazione standard di riproducibilità;
- R = limite di riproducibilità.
La deviazione standard sR descrive la dispersione di un singolo risultato in condizioni di riproducibilità. Il limite R, invece, riguarda la differenza tra due risultati.
Nel quadro della serie ISO 5725, il limite di riproducibilità viene normalmente espresso, per una probabilità vicina al 95%, come:
R ≈ 2,8 · sR
Il fattore 2,8 non è arbitrario. Deriva dal fatto che si confrontano due risultati indipendenti.
Da dove arriva √2?
Supponiamo di avere due risultati indipendenti, x1 e x2, entrambi caratterizzati dalla stessa deviazione standard di riproducibilità sR.
La grandezza che interessa per il limite di riproducibilità è la loro differenza:
d = x1 − x2
Per due variabili indipendenti, le varianze si sommano:
Var(d) = sR2 + sR2 = 2sR2
Quindi la deviazione standard della differenza è:
s(d) = √2 · sR
Ecco il motivo matematico per cui compare √2: la riproducibilità R non descrive direttamente la dispersione di un singolo risultato, ma la possibile differenza tra due risultati indipendenti.
Dal limite di riproducibilità R all’incertezza estesa U
Se si assume una distribuzione approssimativamente normale, il limite di riproducibilità può essere scritto in forma più precisa come:
R ≈ 1,96 · √2 · sR ≈ 2,77 · sR
Nella pratica il valore viene arrotondato a:
R ≈ 2,8 · sR
Se la componente dominante dell’incertezza di un singolo risultato è rappresentata da sR, l’incertezza standard può essere posta approssimativamente uguale a:
u ≈ sR
e, adottando un fattore di copertura k = 2:
U ≈ 2 · sR
Sostituendo sR ricavato dal limite di riproducibilità:
U ≈ 2 · R / 2,8 = R / 1,4
Poiché √2 = 1,4142…, si ottiene la nota relazione pratica:
U ≈ R / √2
Questa relazione è quindi un’approssimazione molto buona, non una diversa teoria dell’incertezza.
La derivazione più rigorosa
Se invece di usare l’arrotondamento 2,8 si mantiene il fattore statistico 1,96, si ha:
R = 1,96 · √2 · sR
e, con U = 2sR:
U = R · 2 / (1,96√2) ≈ R / 1,386
Utilizzando invece R/√2 si ottiene R/1,414. La differenza è circa il 2%, normalmente piccola rispetto alle altre approssimazioni presenti nella stima dell’incertezza.
Per questo, quando R è un limite di riproducibilità al 95%, la formula U ≈ R/√2 è tecnicamente comprensibile e operativamente molto comoda.
Esempio pratico
Un metodo riporta, a un determinato livello di concentrazione:
R = 14 mg/kg
Applicando la relazione pratica:
U ≈ 14 / √2 = 9,90 mg/kg
Quindi, per un risultato pari a 100 mg/kg, si potrebbe ottenere:
(100 ± 10) mg/kg
a condizione che quel valore di riproducibilità sia realmente rappresentativo della prova eseguita dal laboratorio e che non vi siano altri contributi significativi non coperti.
Lo stesso ragionamento può essere applicato a dati relativi. Se il metodo dichiara un limite di riproducibilità R = 20%, si ottiene:
Urel ≈ 20 / √2 = 14,1%
Attenzione: non basta trovare una R nel metodo
La formula non deve trasformarsi in un automatismo. Prima di utilizzare R è necessario capire che cosa rappresenta.
U ≈ R/√2 ha senso quando R è realmente il limite di riproducibilità, cioè una grandezza derivata da una deviazione standard di riproducibilità secondo un modello coerente con la serie ISO 5725.
Non è corretto applicare la formula a:
- un range massimo-minimo;
- una differenza percentuale osservata tra due sole prove;
- una deviazione standard chiamata genericamente “R”;
- un limite di ripetibilità r;
- un valore di precisione intermedia interna non caratterizzato correttamente;
- un criterio di accettazione del metodo che non rappresenta statisticamente un limite di riproducibilità.
Riproducibilità interlaboratorio e precisione intermedia
Nel linguaggio quotidiano di laboratorio viene spesso chiamata “riproducibilità” anche la variabilità ottenuta cambiando giorno, operatore, taratura o apparecchiatura all’interno dello stesso laboratorio.
Dal punto di vista della serie ISO 5725, è più corretto parlare di precisione intermedia. La riproducibilità in senso stretto comprende invece condizioni interlaboratorio.
Questo non significa che i dati interni non possano essere utilizzati per stimare l’incertezza. Significa che devono essere trattati per ciò che realmente rappresentano, verificando quali fonti di variabilità sono state incluse.
E il bias?
Questo è il passaggio che rischia più facilmente di essere dimenticato.
La riproducibilità rappresenta soprattutto la componente di precisione. Una corretta stima dell’incertezza deve chiedersi anche se siano presenti effetti sistematici significativi.
La ISO 21748:2017 fornisce indicazioni per utilizzare dati di ripetibilità, riproducibilità e trueness nella valutazione dell’incertezza. L’approccio assume che gli effetti sistematici riconosciuti e non trascurabili siano corretti o adeguatamente gestiti.
Quando sono presenti contributi aggiuntivi significativi, la stima può assumere una forma del tipo:
uc = √(sR2 + ubias2 + uextra2)
e successivamente:
U = k · uc
In questi casi, utilizzare semplicemente R/√2 può sottostimare l’incertezza.
Quando R/√2 può essere una buona stima
L’approccio è particolarmente utile quando:
- il metodo dispone di dati robusti di riproducibilità;
- matrice e livello di concentrazione sono rappresentativi dei campioni analizzati;
- il laboratorio dimostra prestazioni compatibili con quelle dello studio;
- il processo considerato dallo studio copre realmente le principali fasi della prova;
- eventuali bias significativi sono corretti o valutati;
- non esistono contributi importanti esclusi dallo studio, ad esempio campionamento o preparazioni particolari.
Il punto da ricordare
R riguarda la differenza tra due risultati. U riguarda l’incertezza di un singolo risultato.
La differenza di due risultati indipendenti ha una deviazione standard pari a √2 volte quella del singolo risultato. Da qui nasce la radice di 2.
In forma estremamente sintetica:
R ≈ 2,8sR
U ≈ 2sR
quindi:
U ≈ R/1,4 ≈ R/√2
La formula è quindi utile, ma deve essere usata conoscendo la natura del dato di partenza e verificando che la riproducibilità rappresenti davvero il processo di misura del laboratorio.
Approfondimenti DN Consulenze
Per approfondire l’approccio basato sui dati interlaboratorio è disponibile l’articolo ISO 21748:2017: incertezza da ripetibilità, riproducibilità e bias.
Per chi vuole lavorare in modo operativo su precisione, ripetibilità, riproducibilità, carte di controllo e valutazione statistica dei dati, DN Consulenze ha inoltre programmato il corso Controllo qualità statistico avanzato dei metodi analitici.
Consulta anche il servizio DN dedicato all’incertezza di misura secondo ISO/IEC 17025.
Riferimenti
ISO 21748:2017 – uso di dati di ripetibilità, riproducibilità e trueness nella valutazione dell’incertezza.
ISO 5725-2:2025 – metodo base per la determinazione di ripetibilità e riproducibilità.
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